Mes activités de recherche se déclinent en trois grands axes principaux :

• modélisation d'écoulements à surface libre : les écoulements à surface libre sont complexes à simuler du fait du domaine mobile dans lequel les équations sont posées. Des modèles simplifiés ont été construits pour parvenir à produire des résultats préliminaires. Les équations de Saint-Venant ont ainsi vocation à approcher les équations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible à surface libre. Leur pertinence est cependant limitée à des situations identifiées (pression hydrostatique, pas de stratification, faible viscosité, ...). L'objectif est donc de monter en complexité pour étendre le domaine d'application des modèles, par exemple en prenant en compte la composante non-hydrostatique du champ de pression ou encore les variations du champ de vitesse selon la verticale. Les termes additionnels représentent cependant un défi important en matière d'analyse et d'analyse numérique.
• modélisation d'écoulements à bas nombre de Mach/Froude : les régimes singuliers (grandeur physique très faible) induisent des problématiques théoriques (convergence vers un modèle limite, caractère bien posé) et numériques (précision, robustesse, temps de calcul). Pour le cas des écoulements à bas nombre de Mach, plusieurs stratégies ont été proposées dans la littérature. Celle que j'ai principalement explorée consiste à construire une hiérarchie de modèles simplifiés à l'aide d'un développement asymptotique par rapport au paramètre petit. Cet axe comprend ainsi l'étude d'équations aux dérivées partielles (EDP), en particulier leur caractère bien-posé et les propriétés algébriques vérifiées par les solutions. Exemples de modèles : LMNC, DLMN, ABV.
• adaptation de schémas numériques pour la prise en compte de contraintes physiques : l'utilisation d'un schéma numérique pour la simulation de modèles issus de la physique nécessite au préalable de vérifier que ce schéma a des propriétés adéquates (principe du maximum, positivité). Le cas échéant, on modifie le schéma pour qu'il vérifie les propriétés voulues. Exemples : schéma MOC, schéma MUSCL, couplage schéma antidiffusif / AMR.
  

• "Ecoulements fluides à densité variable"
• Collaborateurs : C. Calgaro (Lille 1 & INRIA), E. Creusé (Lille 1 & INRIA) & T. Goudon (INRIA Sophia-Antipolis)
• Description : après l'étude par Calgaro et al. de la vérification du principe du maximum pour la densité par un solveur Eléments Finis - Volumes Finis des équations de Navier-Stokes, on s'intéresse ici à la construction d'un algorithme permettant de garantir la positivité de la densité et de la pression pour les équations d'Euler. L'approche de type Volumes Finis - MUSCL reprend le concept de tau-limiteurs comme pour Navier-Stokes mais aussi la décomposition en combinaison convexe de schémas 1D décrites par exemple par Perthame & Shu ('96) et Berthon ('05). On établit ainsi une condition CFL explicite pour vérifier le principe de positivité.

• "Etude théorique et numérique de la déformation d'une interface séparant deux fluides non-miscibles à bas nombre de Mach"
• Encadrants : O. Lafitte (Dir., Univ. Paris 13) & S. Dellacherie (CEA Saclay)
• Description :
  
  • On construit un modèle pour décrire l'évolution de bulles dans les coeurs de réacteurs nucléaires, sous l'hypothèse d'un nombre de Mach très faible.
  • Le système obtenu (DLMN pour Diphasic Low Mach Number) comprend une équation hyperbolique pour la fraction massique de la phase vapeur, une équation elliptique pour le potentiel de vitesse, une EDO pour la pression et un sous-système de type Navier-Stokes incompressible.
  • On s'intéresse également à un modèle simplifié (ABV, Abstract Bubble Vibration) qui présente la même structure mathématique (couplage elliptique-hyperbolique).
• Pour le modèle ABV, on étudie l'existence et l'unicité de solutions selon la régularité de la donnée initiale (fonctions indicatrices ou régularisées), au temps d'existence éventuel et aux propriétés satisfaites par les solutions. On construit alors, suivant les cas, des schémas numériques tenant compte de ces propriétés.
• Pour le système DLMN, on prouve un résultat d'existence et d'unicité en temps petit pour une donnée de type Sobolev.
• Thèse soutenue le 13 décembre 2010 devant le jury composé de Mmes BENZONI-GAVAGE (PR, Lyon 1) et HALPERN (PR, Paris 13), et de MM. BOYER (PR, Aix-Marseille 3, président), DELLACHERIE (Ing. de recherche, CEA), DELORT (PR, Paris 13), DESPRES (PR, Paris 6) et LAFITTE (PR, Paris 13), après avis favorables des rapporteurs (S. BENZONI-GAVAGE et B. PERTHAME).